收藏词条编辑词条抽样平均误差

创建时间：2008-08-02

抽样平均误差（Samplingaverageerror）

什么是抽样平均误差

抽样平均误差是抽样平均数（或抽样成数）的标准差，它反映抽样平均数（或抽样成数）与总体平均数（或总体成数）的平均差异程度。由于从一个总体可能抽取之个样本，因此抽样指标（如平均数、抽样成数等），就有多个不同的数值，因而对全及指标（如总体平均数、总体成数等）的离差也就有大有小，这就必需用一个指标来衡量抽样误差的一般水平。

抽样平均数的平均数等于总体平均数，抽样成数的平均数等于总体总数，因而抽样平均数（或抽样成数）的标准差实际上反映了抽样平均数（或抽样成数）与总体平均数（或总体成数）的平均差异程度。

抽样平均误差的计算

（一）样本平均数的平均误差

以μx表示样本平均数的平均误差，表示总体的标准差。根据定义：

$\mu_x^2=E(\bar{x}-\bar{X})^2$

1、当抽样方式为重复抽样时，样本标志值是相互独立的，样本变量x与总体变量X同分布。所以得：

$\mu_x^2=\frac{\sigma^2}{n}$ 　　　　（1）

它说明在重复抽样的条件下，抽样平均误差与总体标准差成正比，与样本容量的平方根成反比。

例1:有5个工人的日产量分别为（单位：件）：6，8，10，12，14，用重复抽样的方法，从中随机抽取2个工人的日产量，用以代表这5个工人的总体水平。则抽样平均误差为多少？

解：根据题意可得： $\bar{X}=\frac{6+8+10+12+14}{5}=10$ (件)

总体标准差 $\sigma=\frac{\sqrt{\sum(X-\bar{X})_2}}{\sqrt{N}}=\frac{\sqrt{40}}{sqrt{5}}=\sqrt{8}$ (件)

抽样平均误差 $\mu_x=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=2$ (件)

2、当抽样方式为不重复抽样时，样本标志值不是相互独立的，根据数理统计知识可知： $\mu_x=\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}(\frac{N-n}{N-1})}$ 　　　（2）

当总体单位数N很大时，这个公式可近似表示为： $\mu_x=\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}(1-\frac{n}{N})}$ 　（3）

与重复抽样相比，不重复抽样平均误差是在重复抽样平均误差的基础上，再乘以 $\sqrt{(N-n)/(N-1)}$ ，而 $\sqrt{(N-n)/(N-1)}$ 总是小于1，所以不重复抽样的平均误差也总是小于重复抽样的平均误差。如前例，若改用不重复抽样方法，则抽样平均误差为： $\mu_x=\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}(\frac{N-n}{N-1})}=\sqrt{\frac{8}{2}(\frac{5-2}{5-1})}=1.732$ (件)