粘一塑性有限元法(visco plastic finite eIement method)

适用于粘一塑性材料按划分有限个单元所建立的数值解法。粘性是指变形体的应力和应变随着时间变化的特征。在金属塑性加工中如总体应变足够大，弹性应变可以忽略，金属的流动可认为是刚性粘一塑性流动。一般采用刚性粘一塑性有限元法来分析金属变形和应力等可精化计算过程和提高计算效率。刚性粘一塑性有限元法可采用与刚一塑性有限元法中的拉格朗日乘子法、罚函数法和体积可压缩法相同的处理方式，主要区别在于刚性粘一塑性材料应考虑等效应力σ_e与应变速率ξ_ij有关.

用刚性粘一塑性有限元法求解塑性加工问题是1974年由津克威茨(0．C．Zienkiewicz)提出的。他推导粘一塑性有限元列式，并分析了轧制等塑性加工过程。以后又相继报导了用这种方法解塑性加工问题的一些研究，并取得了较理想的结果.

塑性加工中的刚一塑性或粘一塑性介质可以看做是具有一定屈服应力的各向同性的非牛顿流体。这种流体的变形特点是当应力达到一定值时，介质才有显著的流动。在等向强化条件下，粘性流动的准则可用下式表示：

式中为粘一塑性应变速率；γ是控制粘性流动的参数，是应变张量和时间的函数；f是屈服函数；f0是无量纲参数；符号<>表示x>0时，<φ(x)>=φ(x)；当x≤o时，<φ(x)>=0。f和φ的具体形式可根据材料的实验而定.

当选用理想的塑性米泽斯(R．vonMises)材料时，本构关系可写为：

式中σ_m为平均应力，ξ_ij为应变速率；σ_ij为应力；η是粘性系数。由于粘性系数与应变速率有关，即与未知节点参数有关，因而决定了粘一塑性有限元是非线性有限元.

由虚功方程可得平衡方程：(K(v)+K)v=R

式中是粘性刚度矩阵；B是应变～速率和节点速度关系的几何矩阵，形式与弹性有限元的B矩阵相同；

是处理不可压缩性时的矩阵。Ds和Dv的形式是：

粘一塑性有限元法一般用直接叠代法解平衡方程组。叠代关系式是V_m+1=(K(V_m)+K)^-1R解题步骤与具有初应力的弹性有限元法相同，其参量的对应关系是弹性体的节点位移“对应粘塑性的节点速度”，应变对应应变速率，剪切模量对应粘性系数.

用粘一塑性有限元法求解塑性加工问题时是把材料视为理想刚一粘性体不考虑弹性效应。为了在实际问题中考虑弹性恢复，计算卸载问题，可将粘性流动规律加上一个弹性贡献，即