卡尔曼方程(Karman’s    equation)

卡尔曼(T．von．Karman)提出的以均匀变形为基础的计算轧制单位压力分布的最早和应用比较广泛的微分方程。为使计算过程简化，提出以下假设：

(1)忽略轧件的宽展，符合平面变形条件(见平面变形问题)。整个接触面上的压力分布可用接触弧上的压力分布来描述；

(2)变形区内微分单元体在变形过程中仍保持平截面——平截面假说，截面上无剪应力，正应力均匀分布；

(3)轧辊无弹性变形；

(4)轧件为理想塑性体；

(5)沿轧件的水平和垂直方向为主轴方向；

(6)屈服条件简化为P—σ_x =1.15σ_s=k。式中P为作用在单元体接触面上的垂直方向压力，σ_x为水平方向压力，σ_s为轧件在单向应力状态下的屈服应力，k为平面变形时的变形抗力。

微分单元体在水平方向(z轴)上的力平衡方程为：

经过简化，得到

。

此式称为卡尔曼微分方程。式中θ为单元体对应轧辊的中心角，Pr为轧辊作用在单元体接触弧上的正应力，“—”号表示前滑区，“+”号为后滑区，τ为接触面上的单位摩擦力。为了从卡尔曼微分方程中解出沿接触弧分布的单位压力Pr，必须利用屈服条件以建立Pr和σ_x之间的关系。由于咬入角通常很小，可以近似认为接触弧上的正压力Pr等同于垂直方向的压力P，且Pr和σ_x均是主应力，

于是有：

从而得卡尔曼方程的另一种表达式：

为了从上式中求出Pr，需要给出K的变化规律。一种简便的方法是取K为常数，并等于轧件在入口处和出口处相应K值的某种平均值，例如，取作算术平均值K=(K_H+K_h)／2一常数，由此便可得到便于积分的卡尔曼方程：

以等式

代入，又可得到另一种常见的卡尔曼方程：

为了求得卡尔曼方程的解，需要设定某些必要的假设条件或近似条件，设定的条件不同，就得到不同的解。采利科夫认为，在咬入角不大的情况下，可以用弦来代替接触弧。采利科夫设定接触弧用一根弦来取代，则有

，

卡尔曼方程变为：

假定接触表面上的摩擦分布为，

则上式为：

式中P^—和P⁺分别表示前滑区和后滑区的单位压力，q^—和q⁺分别表示前张力和后张力。

采利科夫又设定以两根弦代替接触弧，中性点(见中性角)为两根弦的交点，tanθ有如下的表达式：

在前滑区，在后滑区，

其中α和γ分别为咬入角和中性角。卡尔曼方程变为：

积分时的边界条件为：

积分后得

当接触弧设定为抛物线，且其方程为：

，，

则卡尔曼方程简化为：

其解为：

式中l为接触弧长，x为讨论点至轧辊中心线的距离，τ为接触面上的单位摩擦力。

分析以上所得接触弧的单位压力方程，可以看出，该公式考虑了外摩擦、轧件尺寸、压下量、轧辊直径以殛前后张力的影响。

图1所示为压下量一定的条件下，摩擦系数不同所求得的单位压力分布曲线。由图看出，摩擦系数愈高，单位压力峰值愈高，单位压力也愈大。

图2则表示压下量的影响。由图看出；压下量愈大，则单位压力愈大。

D／h是影响轧制压力的重要因素，D／h(或l／h)又叫尺寸函数，当辊径增加而轧件厚度降低时，轧制压力增加(图3)。同样也可求得张力对单位压力的影响大小。

由以上看出，以卡尔曼方程为代表的由截面法所推出的单位压力方程，基本上反映了板带(特别是薄件)轧制的基本情况，因而得到广泛的应用。