变形力学问题的边界元解法(boundary element methods in mechanics of deformation)

在变形体的边界上画分成有限个单元以给定问题的积分方程为基础进行求解变形力学问题的方法，简称BEM法。这种方法可以应用于包括非线性问题在内的许多方面。塑性加工力学问题是非线性问题，如弹一塑性问题和弹一粘塑性问题。所以用于塑性加工力学的边界元法属于非线性边界元法。对于非线性材料，由增量(或速率)形式表示的力平衡微分方程、应变几何方程和本构方程导出的控制微分方程与线弹性材料的对比可见，若引入体积力和表面力的修正，则可把非线性材料看做假想的弹性体来处理。根据加权余量法(求微分方程近似解的方法)或虚功率原理及贝蒂(Betti)互易定理，并引入在无限弹性体上作用单位力时的已知凯尔文(L．Kelvin)基本解，而建立以增量(或速率)表示的边界积分方程。由已知的边界条件，用该积分方程可解出边界上的位移增量和表面力增量。已知这些增量后按类似的积分方程可解出域内各点的位移增量和应力增量。求解积分方程时采用数值解。为此而把所考虑的域的边界画分一系列单元，如用直线段代表二维边界；用三角形或四边形代表三维边界面。至于域内则是因需要对体积力积分才画分单元的。因为边界元法只需将求解域的边界画分单元，故使求解问题的维数降低，如三维化为二维，二维化为一维问题。因此，输入数据大为减少，计算时间缩短。由于它只对边界离散，故离散误差仅来源于边界。而域内变量可由解析式的离散形式直接求得，计算精度提高。对边界问题，如边界裂纹、应力集中以及无限域问题等用边界元法求解甚为方便，有其独道之处。另一方面要把注意力集中于边界积分方程的数值积分上。由于被积函数具有很强的奇异性，故数值解的精度和效率在很大程度上取决于积分方法。

虽然对积分方程的深入研究从20世纪50年代就已经开始了，但边界元法则是在70年代末才广泛用计算机求解工程实际问题的，如弹性力学、断裂力学、塑性力学、流体力学、温度场和电磁场等问题。至于用来求解塑性加工力学问题则从80年代才开始，如用边界元法对齿轮回转加工过程进行弹一塑性力学解析、求解三维锻压问题和二维轧板问题以及求解塑性加工过程中工具变形和残余应力在制品上的分布问题等。今后着重于提高数值解的精度和求解效率以及在塑性加工领域中扩大应用范围。