刚-塑性变分原理(rigid-plastic  variational  principle)

适于刚一塑性材料的能量泛函的极值理论。它是刚一塑性体变形力学极限分析的重要原理。在塑性加工力学中应用最多的是马尔科夫(A．A．MapkoB)变分原理和不完全广义变分原理。应用尚少的还有刚一塑性材料的完全广义变分原理和希尔(R．Htill)变分原理。

设刚一塑性体的体积为V，表面积为S；S又分S_v和S_p两部分，在S_v上给定速度v_i，，在S_p上给定单位表面外力P_i。忽略质量力和惯性力以及不考虑存在速度间断面，并认为过程是在等温下进行的。对于塑性变形区，正确解应满足如下的方程和边界条件：

(1)平衡方程。σ_ji,j=0;

(2)米泽斯(R．yonMises)屈服条件       

(3)几何方程 

(4)列维(M．Levy)一米泽斯本构关系  

(5)体积不可压缩条件    ε_v=ε_ii=0

(6)边界条件：在S_p上：σi_ijn_j=p_i，在S_v上v_i=v_i’；

马尔科夫变分原理

在满足几何方程(3)、体积不可压缩条件(5)和速度边界条件v_i=v_i’的一切运动许可速度v_i^k中使泛函

              (1)

的δφ=o，并φ取最小值的v_i必为本问题的正确解。式(1)中右方第一项是塑性变形所耗功率；第二项是给定外力面上的外力功率。此原理作为塑性加工变形力学问题能量解法和有限元解法的基础。

塑性加工成形时考虑到工具和工件接触面上的单位摩擦力rf以及存在速度间断面S_D，并认为其上的剪应力等于剪应力k，此时式(1)可写成

            (2)

式中Δv_f为工具与工件接触面的相对速度；Δv_v为速度间断面上的速度间断量。

刚-塑性材料不完全广义变分原理

应用马尔科夫变分原理时须预设定满足运动许可条件的速度场。此时几何方程和速度边界条件较易满足，而体积不可压缩条件较难满足。所以可把体积不可压缩条件乘以拉格朗日乘子λ引入泛函式(1)中。这样就可把泛函式(1)的条件极值问题变成对新泛函求无约束条件的驻值问题。此即为不完全广义变分原理，其新泛涵表达式为            (3)

刚-塑性材料不完全广义变分原理表明，在一切满足几何方程和速度边界条件的速度场中使泛函式(3)取驻值(δφ*=0)的v_i为正确解。此泛函取驻值时的拉格朗日乘子λ=1/3ρ_ii=ρ_m。刚一塑性有限元法中常用此原理。

刚一塑性材料完全广义变分原理

把运动许可速度场必须满足的几何方程、速度边界条件和体积不可压缩条件分别乘以拉格朗日乘子α_if=(α_ji),μ_i和λ引入泛函式(1)中，便得到一个新的泛函^φ**

刚-塑性材料完全广义变分原理表明，在一切应力场σ_ij、应变速率场ε_ij和速度场v_i中使泛函式(4)取驻值的σ_ij、ε_ij和v_i为正确解。此泛函取驻值时α_ij=σ_ij，μ_i=σ_ijn_j，λ=1/3σ_ii=σ_m。

希尔变分原理

在满足平衡方程、屈服条件和已知外力的边界条件(σ_ijn_j=p_i)的一切静力许可的应力场σ^s_ij中使泛函

(5)

的变分dφ=0，并蛾取最小值的σ_ij必为本问题的正确解。