变形力学问题的上界元解法(upper bound element methods in mechanics  of deform ation)

把复杂形状的变形区分割成一定数量的标准简单单元，各单元与工件整体都适于上界定理(见上界法)，并采用上界法求解的方法，简称UBET法。它吸取了有限元法(见变形力学问题的有限元法)分割单元的灵活性，继承了上界法建立运动许可速度场的简单性，使解法比上界法灵活、比有限元法简单.

20世纪40年代末和50年代初，马尔科夫(A．A．Map_^KOB)、希尔(R．Hill)和普拉格(W．Prager)等人对塑性和刚塑性材料从数学角度进行极值定理证明之后，逐渐形成了变形力学问题的上界法解析。20世纪60年代工藤英明首先提出在处理复杂的成形问题时，将变形区分割成具有简单运动许可速度场的几个单元环，环问用剪切面相连，在满足体积不变条件和边界条件下，对各单元联立求解速度场和总消耗功率，形成最初的上界元法。20世纪70年代以来，麦克德莫特(R．P．McDermott)和布拉姆雷(A．N．Bramley)发展了这种方法，把轴对称变形工件用一组互相垂直的平行线分割成若干个环形单元，并给出了单元流动的一般解。70年代末和80年代初木内学和村田良美把上界元法归纳出矩形和三角形等五种单元，还提出了工具同工件接触面上单位压力分布的计算方法，使上界元法解析进一步完善.

解析一个复杂轴类件时，要先把它分割成E。E₁₁、E₁₂、…E₄₅等许多个标准的矩形和三角形单元(图1)。各单元的运动许可速度场必满足：(1)工件与工具接触面上的速度边界条件；(2)各单元间边界面上的法向速度连续条件；(3)各单元的体积不变条件。

标准单元的体积不变条件及运动许可速度场，由标准单元的边界速度(图2)求得：

(1)矩形单元。体积不变条件是2(y_i+1+y_i)(r_i+1×U_i+1j—r_iU_ij)+(r_i+1²-r_i²)(V_ij+1一V_ij =0，运动许可速度场为V=C₁y+C₂，U=(一C₁R/2+C₃/R)。由边界条件确定的常数C1=(V_ij+1一V_ij)/(y_j+1-y_j)，C₂₌(V_ij+1- V_ij)/(y_j+l -y_j)，C₃=U_ijr_i+1/2r_i²×(V_ij+1一V_ij)/(y_j+1一y_j)。

(2)三角形单元。I、Ⅲ型标准单元的体积不变条件2(y_i+1一y_i)(一r_iU_ij)+ (r_i+1²一r_i²)(V_ij+1—V_ij)=0，Ⅱ、Ⅳ型标准单元的体积不变条件2(y_j+1一y_i)(r_i+1U_i+1j)+(r_i+1²一r_i²)(V_ij+1一V_ij)=O。三角形单元一般型运动许可速度场V=C₁Y/R+f(R),U=-C₁(1+C₂/R)。C₁、C₂是由边界条件确定的常数。以单元边界速度表示的速度场为

变形总消耗功率J=W(i)+W(s)+W(f)，内部变形功率，各单元间剪切功率，工具同工件间接触摩擦功率。式中σ_s是平均变形抗力，ε_e是等效应变速度，F_s是单元间边面积，F_f是工具与工件的接触表面积，△U_s是单元间剪切速度间断量，△U_t是工具与工件接触面上的相对滑动动速度

解析将根据实际情况分割成l个简单单元，单元边界总数m个，其中外部边界n个。为确定单元运动许可速度场必须确定所有边界上的法向速度。由这些法向速度可列出l个体积不变条件方程，还要确定N=m-(l+n)个边界的法向速度。把变形总功率看成是N个独立变量的函数，则上界元法的求解可归结为Ⅳ个变量的多元函数的极值问题，并可用直接搜索法进行计算机多变量优化计算。解析步骤见程序框图(图3)。

上界元法解析多用于各种轴类件的塑性成形问题。