刚-塑性有限元法

编辑时间：2008-08-02 19:53

刚-塑性有限元法(rigid-plastic finite element method)

对剐一塑性材料的变形区划分为有限个单元所建立的一种变形力学问题的有限元解法。它的基础是刚～塑性变分原理。根据能量泛函取驻值，确定正确速度场和与它有关的场变量。这种方法采用小变形情况的几何方程，忽略工件变形的弹性部分，并考虑塑性变形时的体积不可压缩条件。每一步计算是在前步工件积累变形的几何形状及硬化状态的基础上进行的。变形后工件的外形通过在空间上对速度积分获得，从而避免几何非线性问题。它可用较大的增量步长，减少计算时间，在保证足够的工程精度下提高计算效率。由于作了刚一塑性假设，对体积不可压缩材料，因其静水压力(负的平均应力σ_m)与体积应变速率无关，所以必须作特殊的处理才能求出应力张量σ’_ij，否则只能求出偏应力张量σ’_ij。刚一塑性有限元法在发展的初期，主要用来求各种塑性加工过程的变形力、变形和应力分布等。现已发展到对变形过程进行模拟，为制订合理工艺、预测产品缺陷与材料的可加工性、确定合理毛坯尺寸和预成形模具形状等提供科学依据。刚一塑性有限元法因对体积条件的不同处理而有几种不同的方法，主要有拉格朗日乘子法、罚函数法和体积可压缩法。对比以上三种方法可见，罚函数法中由于引入了很大的正值常数a，未知数或方程式数比拉格朗日乘子法减少了m个，从而减少了计算机内存和计算时问，但若设定的初始速度场严重失真时，惩罚项将变很大，难以收敛。体积可压缩法类似罚函数法，但前者可从速度场直接计算应力，故计算过程简化。实际计算中常遇到一些技术问题需要处理，诸如初始速度场的设定，刚～塑性边界的处理，收敛判据和收缩系数卢的确定，摩擦条件的选取，奇异点和边界条件的处理以及新旧网格场变量传递等。这些问题处理是否得当直接影响刚一塑性有限元的计算与应用。这些问题有的已初步解决，有的尚未圆满解决。这些问题的妥善解决将会使刚一塑性有限元法得到更广泛的应用。

拉格朗日乘子法

以刚-塑性材料不完全广义变分原理为基础的有限元法。能量泛函φ是速度场{v)和拉格朗日乘子λ的函数。由于该泛函取驻值时的{v)为正确解，且λ等于平均应力σ_m，故可据此确定速度场和平均应力进而可求偏应力和应力。刚一塑性有限元的拉格朗日乘子法是小林史郎于1973年首先采用的。

假定将变形体分成m个单元和n个节点。用矩阵表示的单元能量泛函φ^e_L为

式中分别为单元内任一点和节点速度列阵；[N]、[B]分别为形函数矩阵和几何矩阵；{ε}为应变速率列阵；{p}为在S_p面上给定的表面力列阵；λ^e为单元的拉格朗日乘子，假定一个单元内是常数；σ_s为材料的变形抗力。

可见泛函φ^e_L是{v}^e和λ^e的函数，即

　　　　φ^e_L=φ^e({v}^e，λ^e)

对整个变形体的泛函为

泛函φ_L取驻值时，则δφ_L＝０，或

联解3n+m个方程(1)可解出3n个节点速度分量v_i和m个拉格朗日乘子λ_j。由于方程组(1)是关于v_i的非线性方程组，求解困难，通常把它化为线性方程组再求解。小林史郎等当初采用摄动法进行线性化，得到如下的线性方程组

式中△{v}为所有节点的速度增量列阵；{λ}为所有单元的拉格朗日乘子列阵；{S}_k-1，{R}_k-1为由k-1步参量确定的矩阵。用叠代法求解方程组(2)时，须先设定初始速度场。当叠代计算到△{v}_k充分小时，便认为{v}_k-1是{v}的收敛解。当满足ll△v_kll／ll v_k-1ll<δ的收敛条件时认为收敛，其中为很小的正数，视要求的精度而定，一般取δ≤0.0001。若不满足收敛条件，则可按下式确定第k步的速度：

{v}_k={v}_k-1+β△{v}_k

式中β是为了加速收敛而考虑的系数，也称收缩系数，取O<β<1。把{v}_k作为初值，继续叠代计算，直到满足收敛条件为止。在计算硬化材料时，认为每一步加载变形抗力σ_s为常数，此时必须控制每一步变形增量，以保证小变形条件及阶段硬化的精度。求出速度场{v}^e和λ^e后，由{ε}=[B]{v}^e可求出应变速率ε_ij再由本构方程求出偏应力，进而求出应力张量j，其中ε_e为等效应变速率；δ_ij为克罗内克(L．Kroneckel‘)记号，i=j时δ_ij=1，i≠j时，δ_ij=O。

罚函数法

是泛函求条件极值的一种方法。当速度场稍许偏离体积不可压缩的约束条件时，便用一个大的正数α(一般取α=10⁶)乘以此约束条件的平方作为一个惩罚项引入刚一塑性材料马尔科夫(A．A．MapKoB)变分原理能量泛函表达式中(见刚一塑性变分原理)，形成一个新泛函φ_p，这样就将问题转化为对此新泛函在无约束条件下求驻值的问题。此法是20世纪70年代中期由英国津克威茨(0．c．Zienkiewicz)等提出的。此时的单元能量泛函可写成