应变几何方程(geometric   equition  of  strain)

在塑性加工力学中反映变形体内任意点应变与位移的关系式及应变速度与位移速度的关系式。变形物体受到外力作用可引起形状和尺寸的改变。任意线段单位长度改变量为线应变，伸长为正值，缩短为负值；两线段间直角改变量为角应变，角度减小为正值，角度增加为负值。由变形引起的变形体内各质点间相对位置的改变称为位移，坐标正向位移为正值，坐标反向位移为负值。应变几何方程可以用来计算变形功和变形功率；与其他方程联解可以确定位移、应变、位移速度、应变速率等在工件内的分布。根据解决问题的几何特点不同，可采用直角坐标系、圆柱坐标系和球面坐标系等不同坐标系，并有同它们对应的应变几何方程。

直角坐标系应变几何方程   

假定变形物体为均匀连续体，在变形物体内任意点取出一个无穷小六面体素dx、dy、dz变形使体素产生线、角应变和位移。体素在xoy面内的变形和位移情况如图1所示，a点位移分量为u_x、u_y、u_z这些位移分量是坐标的连续函数，是可以微分的。ac线平行x轴，dy=dz=0，则c点在x和y方向位移分量为和；ab线平行于y轴，所以dx=dz=0，b点在y和z方向位移分量为和，对于微小变形情况，由于忽略高阶无穷小项，则应变和位移几何方程为：。式中ε_x、ε_y、ε_z为单元体在z、y、z方向的线应变；ε_xy、ε_yz、ε_zx是xoy、yoz、zox面的内剪应变。

在小应变情况下，应变速率与位移速度几何方程为：式中ε_x、ε_y、ε_x分别为x、y、z方向线应变速率；ε_xy、ε_yz、ε_zx分别为xoy、yoz、zox面内剪应变速率；v_x、v_y、v_z分别为x、y、z方向位移速度。

圆柱坐标系应变几何方程    

在圆柱坐标系中r、z方向线应变，zr面内剪应变与θ无关，几何方程与直角坐标系相似。图2a为θr面由u_r与u_θ作用使线移到位置，产生ε_θ图2b为θ_r面由u_θ、u_r引起ε_rθ；图2c为扇形面单元体，由u_θ和u_z引起ε_θz。小变形情况下，位

移与应变关系的几何方程为:。式中ε_r、ε_θ、ε_z分别为线应变分量；ε_rθ、ε_θz、ε_zr分别为rθ、θz、zr面内剪应变分量；u_r、u_θ、u_z分别为r、θ、z方向位移分量。

在小变形情况下，应变速率与位移速度关系几何方程为：。式中ε’_r、ε’_θ、ε’_z为r、θ、z方向线应变速率；ε’_rθ、ε’_θz、ε’_zr分别为rθ、θz、zr面内剪应变速率；v_v、v_θ、v_z分别为r、θ、z方向位移速度。

球面坐标系应变几何方程       

在小变形情况下，应变与位移几何方程为：式中ε_r、ε_θ、ε_ψ为线应变分量；ε_rθ、ε_θz、ε_ψr为剪应变分量；u_r、u_θ、u_z为位分量；r、θ、_ψ为一点坐标值。

在小变形情况下，应变速率与位移速度几何方程：

式中ε_r、ε_θ、ε_ψ为线应变速率分量；ε_rθ、ε_θψ、ε_ψr为剪应变速率分量；v_r、v_θ、v_ψ为位移速度分量。