上界法(upper bound andanalysis)

基于刚-塑性材料的上界定理求金属塑性加工功率或变形力上限的解析法。也称上限法。上界定理表明：刚-塑性体在给定速度v_i下真实表面力p_i，在S_v面(速度v_i已知面)上所作的功率小于或等于任何其他只满足运动许可条件速度场的表面力所作的功率，其表达式为

式(1)右边是按运动许可速度场确定的各项功率。第一项是内部变形功率，对刚-塑性材料

。第二项是在速度间断面(S_D)上消耗的总剪切功率，包括变形体内各速度间断面上的剪切功率(式中r=k，k为屈服切应力)和工具与工件接触面上的摩擦功率(式中r=r_f，r_f为单位摩擦力，r_f≤k)。第三项是附加单位表面外力声p_i⁰所作的功率。若p_i⁰对变形体提供功率，则积分号前取负号，如带前张力轧制和带牵引力挤压等。若p_i⁰是需要克服的，则取正号，如带后张力轧制和带反张力拉拔。S_p和S_v分别表示给定表面外力和速度的面。上角标k表示运动许可。

用上界法计算上限变形功率或变形力时，需先设定塑性区满足如下运动许可条件的速度场v_i^k：(1)符合速度(或位移)边界条件和几何方程；(2)变形区内保持没有重叠和开裂，此时允许存在法向速度连续而切向速度间断的速度间断面；(3)在塑性区保持体积不变，即ε´_ij^k=0。按上界定理用运动许可速度场确定的变形功或变形力大于或等于真实的变形功或变形力。这样，便可假设含待定参量的v_i^k和ε´_ij^k，然后列出式(1)右边表示的总功率表达式，并求总功率的最小值。对应此最小功率的v_i^k便是更接近真实的速度场。按此速度场确定的变形功率和变形力也就更接近真实的。

采用上界法的关键在于设定运动许可速度场。最简单的情况是如英国约翰逊(w．Johnson)所作的那样，把滑移线场简化成刚性三角形块，各块问界面为速度间断面，按此面上的速度条件设定含待定参量的v_i^k，并由式(1)右边总功率最小确定待定参量，应注意此时式(1)右边第一项表示的内部变形功率为零。这种确定v_i^k的方法主要适用平面变形情况，此时所设定速度场的变形模式与滑移线场愈接近，所得的变形力也愈接近滑移线场理论解，但计算要简便得多。苏联塔尔诺夫斯基(и．R．T_apHoBcKHn)和美国阿维泽(B．Avitzur)等在塑性变形区内采用速度的连续函数，即建立运动许可的连续速度场。这种速度场不仅适于平面变形问题和轴对称变形问题，也可用于三维问题。用流函数法建立运动许可速度场更有其普遍意义，因为此法可自动满足体积不可压缩条件、减少未知量数目和容易满足边界条件。此时速度矢量采用如下形式

V=Vψ₁×Vψ₂

式中ψ₁和ψ₂。为流函数；V为哈密顿算子。为了简化计算可将曲线带状域D保角映射到复势平面上的直线带状域E。配合理论分析做网格实验对建立合适的运动许可速度场是很有效的。

由于上界法预设运动许可速度场比下界法预设静力许可应力场直观，且上限解比下限解更实用，所以上界法在塑性加工中应用较广。用上界法不仅能比较精确地计算各种塑性加工时的变形功和变形力。而且还可确定工件的外形、轧制时的前滑与宽展以及加工变形界限和工件开裂问题等。但是上界法不像下界法和有限元法(见变形力学问题的有限元解法)那样能预测应力分布。