塑性加工过程数学模型(mathematical modles in metalforming process)

描述金属塑性加工过程某些本质特征和参量问相互关系的数学表达式、图表或计算机程序等。一个过程的数学模型，既是对客观事物的抽象和简化，又应是相关理论的具体应用。在连续量域内，该过程可以用一些根据物理定律列出的微分方程或积分方程描述。但是，为了便于计算，通常简化成代数方程。在离散量域中，一般可以用差分方程描述。这些差分方程，以采样时刻的输入量表示采样时刻的输出量。随着计算机技术的迅速发展，数学模型作为计算机应用软件的一部分，其地位和作用越来越突出。

模型的分类   数学模型有多种分类方法。根据建立方法的不同，可分为以下3类。

理论解析模型 从分析过程的物理本质和内在规律出发而建立的描述各参量之间关系的理论公式。其优点是结构严谨，物理意义明确，考虑多种因素影响，较好地反映出过程的普遍规律，适用范围较宽。缺点是结构复杂，不便运算。因此，往往要做多种假设和简化处理，从而影响其精确度，故在工程上较少直接使用。

统计分析模型 在实际运行的生产过程范围内，采集足够多的数据，并做统计分析后建立的能影响过程变化的主要参量之间关系式。当过程比较复杂，机理又不十分清楚时，建立这类模型最为适宜，且能保证预报精度。但是，它又有较强的局限性。因此，不便推广使用，特别是当生产条件经常变更和超出采样范围时，模型不能保证计算精度。

理论-统计模型 把上述两种方法结合起来，既利用理论解析法提供的结构框架(模型识别)，又根据统计方法确定模型中的参数(参数估计)而建立的模型。这类模型兼有以上两种模型的优点，又能有效地克服其各自不足之处，故在工程上得到广泛采用。

工艺模型   以带钢连轧为例，说明在轧制过程计算机控制系统中应用的几种基本工艺模型。

轧制力模型 布兰德-福特(Bland-Ford)冷轧压力理论较全面地考虑了各种因素的影响，是公认的冷轧压力经典理论之一。他们采用前人奥罗万(E．Orowan)均匀压缩理论中的变形区力平衡方程，在若干基本假设和简化条件下，得到单位宽度上的轧制力方程：

由于δ₂是积分方程，求P_B只能采取数值解法，不便用于计算机在线控制。为此，希尔(R．Hill)在不带张力的条件下，在出口厚度h不大于5．08mm、变形程度ε在0．1～0．6和δ₂(a，ε)小于1．7的范围内，对上述P_B式进行大量数值计算，并用统计分析法给出了δ₂(a，ε)(即Q_p)的经验公式：

这样，原来的P_B式可改写成

称为布兰德-福特-希尔简化式。式中趸为材料平均变形抗力(见金属的变形抗力)；R’为工作辊弹性压扁半径；Δh为压下量；Q_p为应力状态影响系数；ε为相对变形量；f为外摩擦系数。由于简化式为一代数方程，非常适于工程计算。布兰德一福特一希尔简化式已成为现代计算机控制系统中冷轧压力模型的基本结构形式之一，具有重要的实用价值。

前滑模型 在计算机控制连轧过程中，前滑模型是反映轧件和轧辊在其接触表面上金属质点相对运动规律的重要模型。前滑设定值的大小，关系到连轧速度设定的准确性和机架问张力调节的稳定性。因此，随着轧制速度和对产品质量要求的提高，对前滑模型的预报精度的要求也越来越高。现有的前滑理论模型，基本上都是以芬克(E．Fink)前滑公式的德雷斯登(D．Dresden)简化式

S_h=Rγ²/h

为基础，所不同的只是中性角γ的计算公式稍有差别。其中布兰德-福特前滑理论模型比较完善，在计算机在线控制和离线模拟研究中被广泛采用。近年来，前滑统计模型已成为常用的在线控制模型的一种形式，也取得较好效果。例如中国某厂1700mm冷连轧机轧制1．5mm厚度带钢时，建立了前滑统计模型

S_h=0．03746+0．00772h+0．01399ε-0．03152b-0．00072v_R

式中b为张力因子，b=(1-t_f / K)/(1-t_b / K)，t_f为单位前张力，t_b为单位后张力；v_R为工作辊圆周速度。

温降模型 在热连轧过程中，正确确定每一道次的轧件温度，对于计算轧制力、制定压下规程以及保证产品力学性能都是十分重要的。轧件的温降规律比较复杂。在轧制前，轧件温度较高，其热损失主要是由于辐射和对流，传导是次要的。当轧件进入辊缝后，热损失主要是由于传导。总的来说，轧件温降的程度同开轧温度、压下量、轧制速度、冷却水量和轧制周期等因素有关。不同区段的温降分析如下：

(1)粗轧区的温降。在从轧件出炉到粗轧终了这个区段内，由于轧件断面积较大，温降较少。一般情况下，温降为150℃左右，其中约五分之一是由于高压水除鳞造成的。每一道次轧件温度丁，可由下式计算

式中h_o、h_i、h_k分别为开轧前、第i道次、粗轧机组出口处轧件的厚度；T₀为开轧温度；T_k为粗轧机组出口处轧件的温度。

(2)粗轧机组出口到精轧机组入口的温降。在这个区段内，轧件温降主要是由于在输送辊道上的热辐射损失。精轧机组入口处的轧件温度T_E可按下式计算

式中σ为斯忒藩-玻耳兹曼常数；γ为轧件密度；c为轧件比热容；ξ为热辐射率；τ为轧件在该区段内的运输时间；h_R为粗轧机组出口处轧件厚度；T_R为粗轧机组出口处轧件温度。

(3)精轧时的温降。轧件的温度通过精轧机组后由精轧机组入口处的温度降到终轧温度。终轧温度取决于精轧开轧温度、成品厚度和出口速度。精轧终轧温度T_c可按下式计算

式中T_e为精轧终轧温度；v_c为精轧机组出口处轧件速度；h_c为成品厚度。

(4)卷取区段的温降。计算该区段温降的目的，是为了把卷取机前的轧件温度控制在临界温度(A₃)以下，以保证所轧的钢卷具有良好和均匀的组织和性能。这一区段温降由3部分组成，即由精轧的终轧温度T_c降到进入喷水冷却区前的温度T_m；经喷水降到喷水区终点处的温度T_n；由T_n降到卷取机前的温度T_H。其计算式为

式中K为传热系数；τ₁、τ₃为相应区段轧件通过时间