取向分布函数(orientation distribution function)：被测材料中晶粒取向的分布函数。取该概念英文词的首位字母，简称ODF。ODF及其分析的结果广泛应用于材料科学与工程领域。从0DF可以返算出材料的极图和反极图，这种返算对于某些不易直接准确测定的极图或反极图的获得具有实用意义。返算的结果可以与实测的进行比较，以检验ODF的可靠性。利用单晶各个方向上的性能数据，用，f(g)计权平均可以求算实际织构材料的宏观性能，为高性能材料的制备和材料服役能力的充分发挥提供依据。另外，借助晶体取向分布随工艺过程变化的信息，可帮助人们深入分析材料的屈服、塑性变形、损伤和断裂的行为和机理，研究和探明材料的再结晶、相变等某些物理冶金过程的基础问题。随着科学技术的不断发展，ODF展示着广阔的应用前景。

晶粒取向的表达形式

求算ODF时首先必须确定晶粒的取向。设样品坐标系S固定在被测材料上，如板材的轧向(RD)，横向(TD)和板面法向(ND)，其基矢为s₁、s₂和s₃；晶体坐标系C固定在被测材料中的每一晶粒上，如立方晶系的[100]、[010]和[001]，其基矢为c₁、c₂和c₃，则晶粒的取向g可表达成：

式中g_ik=C_iS_k(i，k=1、2、3)。

g可有多种表达形式。用密勒指数(hkl)[uvw]表示，则有：

采用邦格(H．J．Bunge)符号的欧拉角(Euler angle)ψ₁、φ、ψ₂表示，则有：

(3)

用旋转晶面的单位矢轴V及其转角ω表示则有：

(4)

式中V_x=cossψsinδ；V_y=sinψsinδ；V_z=cosδ分别为矢量V的球极角和幅角；分别为矢量在方向球中直角坐标轴(x、y、z)上的投影。也可用极图和反极图中极点极射赤面投影的位置描述。

晶粒取向表达形式间的换算关系

在以上g的各表达形式之间存在确定的换算关系。

试样中任一取向g的取向密度f(g)，邦格定义为：

式中sinφ△φ△ψ₁△ψ₂为围绕g的取向元；△V为晶粒取向落在该取向元内的晶体体积，V为试样总体积；K_f为比例系数。式(5)确切给出了试样中晶粒取向出现在g取向上的概率。

设方向球的半径为1，根据归一化条件则有：

          (6)

式中，积分沿整个取向空间，f(g)≥0。当材料无织构时，f(g)=l。

1965年邦格和罗(R．J．Roe)各自独立地提出了用取向分布函数描述晶体材料织构的方法。他们发表了一些论文使各自的方法不断完善。70年代末期，取向分布函数已被广泛用来研究材料的织构。

邦格和罗都采用级数展开的方法求算ODF。他们将取向分布密度函数展成广义球谐函数级数，凭实测的极图数据求解。但是，各自处理方法的细节存在着差异，如欧拉角的定义，广义球函数的相位和归一化的规定以及对称处理的方式等都不相同。邦格的求解方法应用较广泛。他采用欧拉角φ₁、φ、φ₂表示晶体坐标C和样品坐标S之间的关系，3个欧拉角的定义如图1所示。晶体的取向由3个转动确定。图中第一个转动是绕法线ND转φ₁角，此时横向TD和轧向RD分别转到新的方向TD´和RD´，且RD´垂直由ND和[001]所确定的平面。第二个转动是绕RD´转φ角，此时ND与[。01]重合成为ND´，TD´转到了TD´´。第三个转动是绕[001](即ND´)转φ₂角，此时RD´转到了[100]，TD´´与[010]重合。根据f(g)的定义，(hkl)极图(设为h)中某点(α，β)(晶面法向设为y)的极密度为：

式中α、β分别为晶面(hkl)的法向在S坐标系中的球极角和幅角，y为确定晶向[uvw]的参数，即被测晶体绕(hkl)法向的转角。式(7)称为织构分析的基本关系式。

从极密度求解ODF

从已知极图中的极密度P_h(y)求解f(g)有作图法、积分转换法、矢量法和级数展开法等。作图法是以一个晶粒取向与极图上一组点相对应为依据，用作图方式定性地表示晶粒的取向密度分布。该法费时且难以定量，对细小晶粒的材料几乎无能为力，因而没有得到发展。积分转换法即反演法尚未达到实用阶段，但理论上证明是有发展前途的。矢量法的特点是将材料中晶体取向的分布不再看成是随取向连续变化的函数，而是一组分立的值。该法简明易懂，具有发展前途。级数展开法是按谐分析方法将P_h(y)和f(g)均展开成级数，从已知极密度P_h(y)级数中的各系数求算出f(g)级数中的各系数，然后组合成晶粒取向分布密度函数。由于计算机的发展和取采用，从事织构研究者广泛采用了级数展开法，其中邦格的计算方法得到了广泛应用。

按照邦格的求解方法，

         (8)

式中C_l^mn为该级数的l_mn项系数；T_l^mn(g)为广义球谐函数，且

                  (9)

式中P_l^mn(cosφ)为广义缔合勒让德多项式。

            (10)

式中用F_lⁿ为该级数的l_n项系数；K_lⁿ(y)为球谐函数，且

              (11)

式中Pⁿ_l(cosα)为缔合勒让德多项式。

根据勒让德加法定理及球函数的正交性，可求得

式中为球谐函数，

式中为缔合勒让德多项式；分别为．h在坐标c中的球极角和幅角。

因此，根据极图中的极密度Ph(y)按式(10)可求得用，然后按式(12)求得，最后按式(8)求得f(g)。

从不完整极图求解0DF

用级数展开法求算f(g)的方法需要大量的极图。若展开项数l=22时，需45张极图。但是，若考虑了样品及晶体的对称性后，所需极图数可大大减少。如对立方晶系而言，考虑计算精度后，一般采用4张不完整极图。然而完整极图的获得并非容易之事，如何从不完整极图求算0DF也是引人关注的一个研究课题。邦格的最小二乘法、莫里斯(P．R．Morris)的分组解法、科恩(R．Kern)的条件归一法，冯豪特(P．vonHoutte)的叠代法等都是在某些条件下以不完整极图计算ODF的方法。

用级数展开法求算ODF受到弗里德尔(Friedel)定律的影响。该定律指出，不论被测试样的晶体结构是否具有反演中心，晶面(hkl)和(万再Z)的衍射强度值均相等。据此，由实测极图数据按级数展开法求算的ODF中只含有偶数项，不含奇数项。只有偶数项的ODF称为不完全ODF或简化ODF、或实验ODF。含有奇、偶数之和的ODF称为完整ODF或真ODF。ODF中由于缺少奇数项，不仅取向密度值变化了，而且假织构组分也可能出现。ODF的这种失真现象称为鬼峰(ghost)。

为了添补奇数项，邦格采用了反常散射法、零区法、单晶衍射法，波斯皮希(J．Pospiech)和吕克(K．Liicke)采用了织构组分高斯函数拟合法。这些方法各自只能在某种情况下有效地求算完整的f(g)。完整f(g)的求算仍是一个有待继续深入研究的课题。

ODF的定性和定量分析ODF除了各种求解计算以外，分析、描述和解释也是很重要的工作。由于f(g)的立体图形不便于构绘和分析，人们常以一组恒卿或仇的ODF截面图表示之。从这些截面图上能清晰地看出哪些取向上，(g)有峰值以及相应织构组分的强弱和漫散程度。图2是一张纯铜室温下经95％图2纯铜室温下经95％

变形程度轧制后的ODF截面图(忱为常数)变形程度轧制后的真ODF截面图，图中横坐标为吼，纵坐标为声，仇每隔5。一张竹声截面图，且0≤φ₁、φ、φ₂≤π/2。从图中可以看出，f(g)在欧拉空间从{φ₁、φ、φ₂}={90^。，30^。，45^。}到{35^。，45^。，90^。}漫散成管状。f(g)在这两点有峰值，并且在{60^。，35^。，65^。}、{0^。，45^。，0^。／90^。}、{0^。，20^。，0^。}等点也有峰值。以上欧拉空间点分别对应(112)(111]、(011)[211]、(123)[634]、(011)[100]以及(025)[100]。其中(123)[634]组分最强。

ODF定量分析没有统一的方法。波斯皮希和吕克采用了织构组分高斯函数“拟合法”。该法简便清晰。表中列出了采用该法对图2进行分析的结果以及各织构组分i的欧拉角、密勒指数、峰值取向密度及漫散宽度和体积百分数。

①括号项表示过渡性取向，工(g)为非峰值.

大量实验和生产实践表明，立方金属的晶粒取向分布在欧拉空间往往是呈带分枝的管状图形。管的轴线叫骨骼线或取向线，体现了主要织构的走向。金属的形变织构特征一般总是沿骨骼线显示出来。骨骼线在织构分析中常被采用。人们根据骨骼线在欧拉空间的走向进行了命名，如α-、β-、γ-和τ-取向线等。图3表示了铜合金织构随Zn含量沿α-(图3a)、β-(图3b)及r一取向线(图3c)变化情况。由图可见，随Zn含量的增加，黄铜取向、戈斯及铜取向的孪晶(552)[115]增强，而S-和铜取向减弱。p一取向线的位置随Zn含量也呈规律性的变化，如图d所示。因此，Zn含量对铜合金织构的影响就比较清楚地描绘出来了。但是，织构的分析不能仅局限于f(g)沿取向线的变化，否则会遗漏掉织构信息，一般要结合ODF截面图进行细致的研究。